在2022年的单招考试中，山西职业技术学院的数学试题覆盖了多个知识点，旨在考察学生的数学基础与应用能力。本文将围绕这份题库展开详细分析，并提供清晰的答案解析，帮助考生更好地理解题目背后的逻辑。
题目一：函数与方程
题目描述：已知函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，求其零点并判断函数的单调性。
解析：
1. 求零点：令 $ f(x) = 0 $，即 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $。通过因式分解可得：
$$
(x-1)(x-3) = 0
$$
因此，函数的零点为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $。
2. 判断单调性：对函数求导，得到 $ f'(x) = 2x - 4 $。令 $ f'(x) > 0 $，解得 $ x > 2 $；令 $ f'(x) < 0 $，解得 $ x < 2 $。因此，函数在区间 $ (-\infty, 2) $ 上单调递减，在区间 $ (2, \infty) $ 上单调递增。
答案：零点为 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $；函数在 $ (-\infty, 2) $ 单调递减，在 $ (2, \infty) $ 单调递增。
题目二：几何问题
题目描述：已知直角三角形的两条直角边分别为 $ a = 6 $ 和 $ b = 8 $，求斜边长度及面积。
解析：
1. 求斜边长度：根据勾股定理，斜边 $ c $ 满足：
$$
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
$$
2. 求面积：直角三角形的面积公式为：
$$
\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24
$$
答案：斜边长度为 $ 10 $，面积为 $ 24 $。
题目三：概率统计
题目描述：一个袋子中有红球和白球共 $ 10 $ 个，其中红球有 $ 4 $ 个。随机抽取两个球，求至少有一个红球的概率。
解析：
1. 总情况数：从 $ 10 $ 个球中抽取 $ 2 $ 个球的组合数为：
$$
C(10, 2) = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45
$$
2. 无红球的情况数：只有白球时，从 $ 6 $ 个白球中抽取 $ 2 $ 个球的组合数为：
$$
C(6, 2) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15
$$
3. 至少有一个红球的概率：至少有一个红球的概率等于 $ 1 $ 减去没有红球的概率：
$$
P(\text{至少一个红球}) = 1 - \frac{\text{无红球的情况数}}{\text{总情况数}} = 1 - \frac{15}{45} = \frac{2}{3}
$$
答案：至少有一个红球的概率为 $ \frac{2}{3} $。
总结
通过以上三道题目的解析，我们可以看到山西职业技术学院单招数学试题注重基础知识的应用与灵活运用。希望本文的解析能帮助考生更好地准备考试，取得理想成绩！
