在几何学中，圆柱是一种常见的立体图形，它由两个平行且全等的圆形底面以及一个曲面构成。掌握圆柱的表面积与体积计算方法，不仅有助于解决实际问题，还能为更复杂的数学学习打下坚实的基础。以下是关于圆柱表面积和体积的一些典型练习题，供同学们巩固知识。
一、基础知识回顾
1. 圆柱的表面积公式
圆柱的表面积包括两个圆形底面的面积加上侧面展开后的矩形面积：
\[
S = 2\pi r^2 + 2\pi rh
\]
其中，\(r\) 是底面半径，\(h\) 是高。
2. 圆柱的体积公式
圆柱的体积等于底面积乘以高：
\[
V = \pi r^2 h
\]
二、专项练习题
1. 已知一个圆柱的底面半径为4 cm，高为6 cm，请计算其表面积和体积。
解析：
- 表面积：
\[
S = 2\pi (4)^2 + 2\pi (4)(6) = 32\pi + 48\pi = 80\pi \, \text{cm}^2
\]
约等于 \(251.33 \, \text{cm}^2\)。
- 体积：
\[
V = \pi (4)^2 (6) = 96\pi \, \text{cm}^3
\]
约等于 \(301.59 \, \text{cm}^3\)。
2. 一个圆柱的表面积是 \(100\pi \, \text{cm}^2\)，底面半径为5 cm，请计算其高。
解析：
- 根据表面积公式：
\[
S = 2\pi r^2 + 2\pi rh
\]
将已知条件代入：
\[
100\pi = 2\pi (5)^2 + 2\pi (5)h
\]
化简得：
\[
100 = 50 + 10h \quad \Rightarrow \quad 10h = 50 \quad \Rightarrow \quad h = 5 \, \text{cm}
\]
3. 若一个圆柱的体积是 \(250\pi \, \text{cm}^3\)，高为10 cm，请计算其底面半径。
解析：
- 根据体积公式：
\[
V = \pi r^2 h
\]
将已知条件代入：
\[
250\pi = \pi r^2 (10)
\]
化简得：
\[
r^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad r = 5 \, \text{cm}
\]
4. 一个圆柱的底面直径为8 cm，高为12 cm，请计算其表面积和体积。
解析：
- 底面半径 \(r = \frac{8}{2} = 4 \, \text{cm}\)。
- 表面积：
\[
S = 2\pi (4)^2 + 2\pi (4)(12) = 32\pi + 96\pi = 128\pi \, \text{cm}^2
\]
约等于 \(402.12 \, \text{cm}^2\)。
- 体积：
\[
V = \pi (4)^2 (12) = 192\pi \, \text{cm}^3
\]
约等于 \(603.19 \, \text{cm}^3\)。
三、拓展思考
1. 如果一个圆柱的表面积和体积相等，且底面半径为1 cm，请计算其高。
2. 一个圆柱的高是其底面半径的两倍，若体积为 \(72\pi \, \text{cm}^3\)，求其表面积。
通过以上练习题，我们可以进一步加深对圆柱表面积和体积公式的理解，并提高解决实际问题的能力。希望同学们能够熟练掌握这些知识点，在考试中取得优异的成绩！
