高等数学作为一门基础学科，在大学学习中占据着极其重要的地位。它不仅为后续专业课程打下坚实的理论基础，还培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。在高数的学习过程中，练习题是不可或缺的一部分，通过反复练习经典习题，可以更好地掌握知识点并提高解题技巧。
以下是一些经典的高数习题及其解析：
一、极限与连续
例题1：求函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $ 在 $ x = 2 $ 处的极限。
解析：直接代入 $ x = 2 $ 会导致分母为零，因此需要先化简。将分子分解因式得：
$$
f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}
$$
当 $ x \neq 2 $ 时，可约去 $ x - 2 $，得到：
$$
f(x) = x + 2
$$
因此，$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4$。
二、导数与微分
例题2：已知函数 $ g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $，求其导数 $ g'(x) $。
解析：利用基本求导公式，逐项求导：
$$
g'(x) = 3x^2 - 6x + 2
$$
注意：多项式的导数只需对每一项分别求导即可。
三、积分
例题3：计算定积分 $\int_0^1 (2x^2 + 3x - 1) dx$。
解析：首先求不定积分：
$$
\int (2x^2 + 3x - 1) dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x + C
$$
然后代入上下限计算：
$$
\left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - x \right]_0^1 = \left( \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 - 1 \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 - 0 \right)
$$
$$
= \frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} - \frac{6}{6} = \frac{7}{6}
$$
四、级数
例题4：判断级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 是否收敛。
解析：这是一个著名的p-级数，其中 $ p = 2 > 1 $。根据p-级数的判别法，该级数收敛。
以上习题涵盖了高数中的几个核心模块，希望读者能够通过这些题目加深对知识点的理解。同时，多做类似的练习题有助于提升解题速度和准确度，为考试做好充分准备。
