在数学的学习过程中，二次根式的相关知识是一个重要的组成部分。掌握好二次根式的运算规则和性质，不仅能够帮助我们解决复杂的数学问题，还能为后续学习打下坚实的基础。接下来，我们将通过一些具体的练习题来加深对这一知识点的理解。
练习题：
1. 计算 $\sqrt{8} \times \sqrt{2}$ 的值。
2. 化简表达式 $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$。
3. 求解方程 $\sqrt{x+4}=3$。
4. 已知 $a=\sqrt{3}+2$，求 $a^2-4a+4$ 的值。
5. 若 $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$，试证明 $a=0$ 或 $b=0$。
答案解析：
1. 计算 $\sqrt{8} \times \sqrt{2}$
根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。因此：
$$
\sqrt{8} \times \sqrt{2} = \sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4
$$
2. 化简表达式 $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$
同样利用二次根式的除法规则，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$。所以：
$$
\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5
$$
3. 求解方程 $\sqrt{x+4}=3$
将等式两边平方后得到：
$$
x+4 = 9 \implies x = 5
$$
验证：$\sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$，满足条件。
4. 已知 $a=\sqrt{3}+2$，求 $a^2-4a+4$ 的值
先展开表达式：
$$
a^2 - 4a + 4 = (\sqrt{3}+2)^2 - 4(\sqrt{3}+2) + 4
$$
展开并合并同类项：
$$
= (3 + 4\sqrt{3} + 4) - (4\sqrt{3} + 8) + 4 = 3 + 4 + 4 - 8 + 4 = 7
$$
5. 若 $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$，试证明 $a=0$ 或 $b=0$
假设 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$，两边平方得：
$$
a+b = a + b + 2\sqrt{ab}
$$
消去相同项后得到：
$$
2\sqrt{ab} = 0 \implies ab = 0
$$
因此，至少有一个数为零，即 $a=0$ 或 $b=0$。
通过以上练习题及其解答，我们可以看到，二次根式的运算需要熟练掌握其基本法则，并注意细节处理。希望这些题目能帮助大家更好地巩固这一知识点！
