在高中数学的学习过程中，必修四内容涵盖了三角函数、平面向量以及三角恒等变换等多个重要知识点。这些内容不仅是高考中的重点，也是后续学习解析几何、立体几何乃至大学数学的基础。掌握其中的关键公式，对于提高解题效率和理解数学本质具有重要意义。
以下是一些高中数学必修四中常见的、重要的公式整理，帮助同学们更好地复习和巩固知识。
一、三角函数的基本公式
1. 三角函数的定义（单位圆）：
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- $\sin \alpha = y$
- $\cos \alpha = x$
- $\tan \alpha = \frac{y}{x}$（x ≠ 0）
2. 同角三角函数关系：
- $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
- $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$
- $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$
3. 诱导公式（常见角度的三角函数值）：
- $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$
- $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$
- $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$
- $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$
- $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$
- $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$
二、三角恒等变换公式
1. 和差角公式：
- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$
2. 倍角公式：
- $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$
- $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$
- $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$
3. 半角公式：
- $\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$
- $\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$
- $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$
三、向量的基本运算公式
1. 向量的加法与减法：
设$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
- $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
- $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$
2. 向量的数乘：
- $k\vec{a} = (kx_1, ky_1)$，其中k为实数。
3. 向量的模长：
- $|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
4. 向量的数量积（点积）：
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$（θ为两向量夹角）
5. 向量的夹角公式：
- $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
四、三角函数图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
|------|--------|------|------|--------|
| $\sin x$ | R | [-1, 1] | $2\pi$ | 奇函数 |
| $\cos x$ | R | [-1, 1] | $2\pi$ | 偶函数 |
| $\tan x$ | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ | R | $\pi$ | 奇函数 |
五、正弦定理与余弦定理
1. 正弦定理：
在任意三角形ABC中，设其三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中R为三角形外接圆半径。
2. 余弦定理：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
$$
$$
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B
$$
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
总结
高中数学必修四的内容虽然看似繁杂，但只要掌握了上述核心公式，并结合实际题目进行练习，就能逐步建立起清晰的知识体系。建议同学们在复习时注重公式的推导过程和应用方法，而不是死记硬背。通过不断积累和总结，才能真正提高数学成绩和思维能力。
如需进一步了解某个公式的详细推导或应用场景，欢迎继续提问！
