勾股定理是初中数学中非常重要的一个知识点，它不仅在几何学习中占据核心地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。掌握好勾股定理的运用，有助于提升学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。以下是一些关于勾股定理的典型练习题，并附有详细解答，帮助学生更好地理解和巩固这一知识点。
一、基础题型
1. 已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解：
根据勾股定理，斜边 $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $
代入数据得：
$ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ cm
答： 斜边长为5cm。
2. 直角三角形的斜边为10cm，一条直角边为6cm，求另一条直角边的长度。
解：
设另一条直角边为 $ b $，则有：
$ a^2 + b^2 = c^2 $
即：
$ 6^2 + b^2 = 10^2 $
$ 36 + b^2 = 100 $
$ b^2 = 64 $
$ b = \sqrt{64} = 8 $ cm
答： 另一条直角边为8cm。
二、应用题型
3. 一棵树在风中折断后，树顶落在离树根6米的地方，折断处到树顶的垂直高度为8米，求原树的高度。
解：
将问题抽象为直角三角形，其中树根到落地点的距离为6米，折断处到树顶的垂直高度为8米，那么树的总高度就是这两段的和。
不过这里要注意的是，题目中“折断处到树顶的垂直高度”可能指的是折断后的树顶与地面之间的垂直距离，因此我们可以认为这是一个直角三角形，其中一条直角边为6米，另一条为8米，斜边即为原树的高度。
所以：
$ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $ 米
答： 原树高为10米。
4. 一个梯子斜靠在墙上，梯子底部离墙1.5米，梯子顶端到达离地7.5米的位置，求梯子的长度。
解：
设梯子长度为 $ c $，则：
$ c = \sqrt{1.5^2 + 7.5^2} = \sqrt{2.25 + 56.25} = \sqrt{58.5} \approx 7.65 $ 米
答： 梯子长度约为7.65米。
三、综合题型
5. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知AC=5cm，BC=12cm，求AB的长度。
解：
根据勾股定理：
$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $ cm
答： AB的长度为13cm。
6. 已知一个直角三角形的两条边分别为 $ x $ 和 $ x+1 $，斜边为 $ x+2 $，求该三角形的三边长度。
解：
根据勾股定理：
$ x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2 $
展开并化简：
$ x^2 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 4 $
$ 2x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 4 $
移项整理：
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $
解这个方程：
$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 + 4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $
所以 $ x = 3 $ 或 $ x = -1 $（舍去负数）
当 $ x = 3 $ 时，三边分别为：3cm、4cm、5cm
答： 三边长度分别为3cm、4cm、5cm。
总结
勾股定理是解决直角三角形相关问题的重要工具，通过不断练习，可以提高对公式的理解与应用能力。以上练习题涵盖了基本计算、实际应用以及一些综合性较强的题目，希望同学们能够认真思考、反复练习，从而真正掌握这一重要知识点。
