【高中数学-导数复习题库】导数是高中数学中一个非常重要的知识点，它不仅是函数性质研究的基础工具，也是解决实际问题的重要手段。在高考中，导数部分通常以选择题、填空题或大题的形式出现，考查内容包括导数的定义、求导法则、导数的应用（如单调性、极值、最值、切线方程等）。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面整理了一份高中数学-导数复习题库，涵盖基础题型与典型例题，适合考前复习使用。
一、导数的基本概念
1. 导数的定义
函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的导数定义为：
$$
f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$
若该极限存在，则称 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处可导。
2. 导数的几何意义
导数表示函数图像在某一点处的切线斜率。
二、基本求导公式
| 函数 | 导数 |
|------|------|
| $ y = c $（常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $ | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = a^x $ | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
三、导数的运算法则
1. 和差法则
$$
(u \pm v)' = u' \pm v'
$$
2. 积法则
$$
(uv)' = u'v + uv'
$$
3. 商法则
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
4. 链式法则
若 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
四、导数的应用
1. 判断函数的单调性
若 $ f'(x) > 0 $，则函数在该区间上单调递增；
若 $ f'(x) < 0 $，则函数在该区间上单调递减。
例题：
已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，求其单调区间。
解：
先求导：
$$
f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
$$
令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = 1 $ 或 $ x = -1 $。
分析符号：
- 当 $ x < -1 $，$ f'(x) > 0 $，函数递增；
- 当 $ -1 < x < 1 $，$ f'(x) < 0 $，函数递减；
- 当 $ x > 1 $，$ f'(x) > 0 $，函数递增。
结论：函数在 $ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上递增，在 $ (-1, 1) $ 上递减。
2. 求函数的极值
若 $ f'(x_0) = 0 $，且在 $ x_0 $ 附近导数符号发生变化，则 $ x_0 $ 是极值点。
例题：
求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值。
解：
由上题可知，导数为 $ f'(x) = 3(x - 1)(x + 1) $，临界点为 $ x = -1 $ 和 $ x = 1 $。
利用二阶导数判断：
$$
f''(x) = 6x
$$
- $ f''(-1) = -6 < 0 $，故 $ x = -1 $ 是极大值点；
- $ f''(1) = 6 > 0 $，故 $ x = 1 $ 是极小值点。
极值：
- 极大值：$ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 $
- 极小值：$ f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 $
3. 求曲线的切线方程
若曲线 $ y = f(x) $ 在点 $ (x_0, f(x_0)) $ 处的切线斜率为 $ f'(x_0) $，则切线方程为：
$$
y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)
$$
例题：
求曲线 $ y = x^2 + 2x $ 在点 $ (1, 3) $ 处的切线方程。
解：
先求导：
$$
y' = 2x + 2
$$
在 $ x = 1 $ 处，导数值为 $ y' = 2(1) + 2 = 4 $。
所以切线方程为：
$$
y - 3 = 4(x - 1) \Rightarrow y = 4x - 1
$$
五、综合练习题
1. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $，求其极值点及极值。
2. 求函数 $ y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。
3. 已知函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $，求其导数并判断单调性。
4. 求曲线 $ y = e^x $ 在 $ x = 0 $ 处的切线方程。
5. 设函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，若 $ f(1) = 3 $，$ f'(1) = 2 $，$ f''(1) = 4 $，求 $ a, b, c $ 的值。
六、总结
导数作为高中数学的核心内容之一，不仅要求掌握基本的求导方法，还需要理解其在函数性质分析中的应用。通过系统的复习和练习，能够有效提升解题能力，为高考打下坚实的基础。
建议同学们在复习过程中注重以下几点：
- 熟练掌握导数的计算方法；
- 理解导数与函数图像之间的关系；
- 善于运用导数解决实际问题，如极值、单调性、切线等问题。
希望这份高中数学-导数复习题库能对你的学习有所帮助！
