【十字相乘法练习题】在初中数学的学习过程中，因式分解是一个重要的知识点，而“十字相乘法”则是解决二次三项式因式分解的一种常用方法。掌握好这一技巧，不仅能提高解题效率，还能增强对代数式的理解能力。本文将围绕“十字相乘法练习题”展开，提供一些典型的例题和解析，帮助大家更好地掌握这一方法。
一、什么是十字相乘法？
十字相乘法主要用于对形如 $ ax^2 + bx + c $ 的二次三项式进行因式分解。其基本思路是：找到两个数，使得它们的乘积为 $ a \times c $，而它们的和为 $ b $。然后通过交叉相乘的方式，将原式分解为两个一次项的乘积。
例如，对于 $ x^2 + 5x + 6 $，我们可以找到两个数 2 和 3，满足 $ 2 \times 3 = 6 $，$ 2 + 3 = 5 $，因此可以分解为 $ (x+2)(x+3) $。
二、十字相乘法的步骤
1. 确定系数：观察二次项系数 $ a $、一次项系数 $ b $、常数项 $ c $。
2. 找乘积与和：寻找两个数，使得它们的乘积为 $ a \times c $，和为 $ b $。
3. 拆项重组：将中间项 $ bx $ 拆分成这两个数的和，再进行分组分解。
4. 提取公因式：最后提取公因式，得到因式分解的结果。
三、典型练习题及解析
题目1：
分解因式： $ x^2 + 7x + 12 $
解析：
我们需要找两个数，使得它们的乘积为 $ 1 \times 12 = 12 $，和为 7。
符合条件的数是 3 和 4。
所以，原式可分解为：
$$
(x + 3)(x + 4)
$$
题目2：
分解因式： $ x^2 - 5x + 6 $
解析：
乘积为 $ 1 \times 6 = 6 $，和为 -5。
符合条件的数是 -2 和 -3。
所以，原式可分解为：
$$
(x - 2)(x - 3)
$$
题目3：
分解因式： $ 2x^2 + 7x + 3 $
解析：
这里 $ a = 2 $，$ c = 3 $，乘积为 $ 2 \times 3 = 6 $，和为 7。
符合条件的数是 1 和 6。
将中间项拆成 $ x + 6x $，得：
$$
2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (x + 3)(2x + 1)
$$
题目4：
分解因式： $ 3x^2 - 10x + 8 $
解析：
乘积为 $ 3 \times 8 = 24 $，和为 -10。
符合条件的数是 -6 和 -4。
拆项后得：
$$
3x^2 - 6x - 4x + 8 = 3x(x - 2) - 4(x - 2) = (3x - 4)(x - 2)
$$
四、练习题精选（附答案）
1. $ x^2 + 9x + 18 $ → (x + 3)(x + 6)
2. $ x^2 - 4x - 21 $ → (x - 7)(x + 3)
3. $ 2x^2 + 5x + 3 $ → (2x + 3)(x + 1)
4. $ 4x^2 - 12x + 9 $ → (2x - 3)^2
5. $ 6x^2 + 11x + 3 $ → (2x + 3)(3x + 1)
五、小结
十字相乘法是一种高效且实用的因式分解方法，尤其适用于形式为 $ ax^2 + bx + c $ 的二次多项式。通过多做练习题，不断积累经验，可以帮助我们更快、更准确地运用这种方法解决问题。
希望这篇关于“十字相乘法练习题”的内容能对你的学习有所帮助！
