【专升本同学必备的高等数学公式大全.x】对于正在备战专升本考试的同学来说，高等数学是必考科目之一，掌握好相关的数学公式不仅有助于提高解题效率，还能在考试中赢得更多时间。因此，整理一份系统、全面的高等数学公式手册显得尤为重要。
本文将为专升本考生提供一份涵盖高等数学核心内容的公式汇总，帮助大家在复习过程中快速回顾、查漏补缺，提升应试能力。
一、函数与极限
1. 函数的基本概念
- 函数定义：设A、B是两个非空数集，若对每个x∈A，都有唯一确定的y∈B与之对应，则称y是x的函数，记作 y = f(x)。
2. 极限的定义
- 当 x → a 时，f(x) → L，记作 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。
3. 重要极限公式
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
- $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
二、导数与微分
1. 导数的定义
- $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
2. 基本求导公式
- $(C)' = 0$（C为常数）
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $(e^x)' = e^x$
3. 导数的运算法则
- $(u ± v)' = u' ± v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
4. 高阶导数
- 二阶导数：$f''(x) = (f'(x))'$
5. 微分公式
- $dy = f'(x)dx$
三、积分与不定积分
1. 不定积分的定义
- 若 $F'(x) = f(x)$，则 $\int f(x) dx = F(x) + C$
2. 基本积分公式
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（n ≠ -1）
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
3. 换元积分法
- 设 $u = g(x)$，则 $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$
4. 分部积分法
- $\int u dv = uv - \int v du$
四、微分方程基础
1. 一阶线性微分方程
- 标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
- 解法：使用积分因子法，通解为 $y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x)Q(x) dx + C \right)$，其中 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$
2. 可分离变量方程
- 形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$
- 解法：两边分别积分，得到 $\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx$
五、多元函数微分学
1. 偏导数
- 对x的偏导数：$\frac{\partial f}{\partial x}$
- 对y的偏导数：$\frac{\partial f}{\partial y}$
2. 全微分
- $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$
3. 极值判定
- 设函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处有极值，则 $f_x(x_0, y_0) = 0$, $f_y(x_0, y_0) = 0$
- 判定条件：利用二阶偏导数判断是否为极值点
六、级数与泰勒展开
1. 等比数列求和
- $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$（r ≠ 1）
2. 泰勒级数展开
- $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
3. 常见函数的泰勒展开
- $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
- $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
- $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
七、常用符号与单位
- π：圆周率，约等于3.1416
- e：自然对数的底，约等于2.7183
- Δx：自变量的变化量
- ∫：积分符号
- ∞：无穷大符号
结语
高等数学是专升本考试中的重点科目，掌握好这些公式不仅能帮助大家在考试中快速解题，也能提升整体数学思维能力。建议同学们在复习过程中结合例题反复练习，做到“理解公式、灵活运用”。
希望这份《专升本同学必备的高等数学公式大全》能成为你备考路上的得力助手，助你在考试中取得理想成绩！
