【(高考数学)解三角形-真题分类汇编】在高考数学中，解三角形是重要的知识点之一，主要涉及正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等。通过对历年高考试题的分析可以看出，该部分内容常以选择题、填空题或解答题的形式出现，考查学生对三角函数基本公式的掌握程度以及综合运用能力。
本文将对近年来高考数学中与“解三角形”相关的题目进行分类整理，帮助考生系统复习、查漏补缺，提高应试能力。
一、基础知识回顾
1. 正弦定理
在任意三角形中，各边与其对应角的正弦之比相等，即：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中，$ a, b, c $ 分别为角 $ A, B, C $ 的对边，$ R $ 为外接圆半径。
2. 余弦定理
在任意三角形中，任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍乘积，即：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
$$
类似地可写出其他两个公式。
3. 三角形面积公式
$$
S = \frac{1}{2}ab\sin C
$$
或者利用海伦公式：
$$
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad (p = \frac{a+b+c}{2})
$$
二、真题分类解析
1. 单独应用正弦或余弦定理解三角形
例题1（2020年全国卷Ⅰ）
在△ABC中，已知 $ a = 3 $，$ b = 4 $，$ \angle C = 60^\circ $，求边 $ c $ 的长度。
解析：
使用余弦定理：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 9 + 16 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos 60^\circ = 25 - 12 = 13
$$
所以 $ c = \sqrt{13} $
2. 结合正弦、余弦定理综合求解
例题2（2019年北京卷）
在△ABC中，已知 $ \angle A = 60^\circ $，$ a = 7 $，$ b = 5 $，求角 $ B $ 的大小。
解析：
由正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{5}{\sin B}
$$
$$
\sin B = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{7} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}
$$
计算得 $ B \approx 38.2^\circ $ 或 $ 141.8^\circ $，但由于 $ a > b $，故 $ B < A $，因此 $ B \approx 38.2^\circ $
3. 利用三角形面积公式求解
例题3（2021年江苏卷）
已知△ABC中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，且 $ \angle BAC = 120^\circ $，求△ABC的面积。
解析：
利用面积公式：
$$
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 120^\circ = \frac{35}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4}
$$
4. 解三角形与实际问题结合
例题4（2022年浙江卷）
某观测站测得某山峰顶部的仰角为 $ 30^\circ $，观测点与山脚的距离为 1000 米，求山的高度。
解析：
设山高为 $ h $，则有：
$$
\tan 30^\circ = \frac{h}{1000} \Rightarrow h = 1000 \cdot \tan 30^\circ = 1000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 577.35 \text{ 米}
$$
三、备考建议
1. 熟练掌握公式：正弦、余弦定理及面积公式是解题的基础，必须牢记并灵活运用。
2. 注意单位与角度转换：题目中可能涉及角度与弧度的转换，需特别留意。
3. 多做真题练习：通过历年真题训练，熟悉命题风格和常见题型。
4. 注重数形结合：画出图形有助于理解题意，尤其在涉及实际应用的问题中尤为重要。
四、总结
解三角形作为高考数学的重要内容，不仅考察学生的计算能力，更强调逻辑思维与实际应用能力。通过对历年真题的分类整理与深入分析，可以帮助考生在复习过程中有的放矢，提升解题效率和准确率。
希望本汇编能为同学们的复习提供参考与帮助，祝大家在高考中取得优异成绩！
