【初三数学:《二次函数的图象和性质》知识点归纳】在初中数学的学习中，二次函数是一个重要的知识点，它不仅与几何图形密切相关，还在实际问题中有着广泛的应用。掌握好二次函数的图像与性质，对于理解函数变化规律、解决实际问题具有重要意义。本文将对《二次函数的图象和性质》进行系统归纳，帮助同学们更好地理解和运用这一内容。

一、二次函数的定义

一般地，形如

y = ax² + bx + c（其中 a ≠ 0）

的函数叫做二次函数，其中 a、b、c 是常数，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

二、二次函数的图象——抛物线

二次函数的图像是抛物线，其形状由二次项系数 a 的正负决定：

- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；

- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点是它的最高点或最低点，决定了函数的最大值或最小值。

三、二次函数的顶点式

二次函数还可以表示为顶点式：

y = a(x - h)² + k

其中，(h, k) 是抛物线的顶点坐标。

这种形式便于直接看出抛物线的顶点位置和开口方向。

四、二次函数的对称轴

抛物线关于一条垂直于 x 轴的直线对称，这条直线称为对称轴。

对于一般式 y = ax² + bx + c，对称轴的方程为：

x = -b/(2a)

五、二次函数的最值

- 当 a > 0 时，函数有最小值，出现在顶点处；

- 当 a < 0 时，函数有最大值，同样出现在顶点处。

顶点的纵坐标即为函数的最值，计算公式为：

k = c - b²/(4a) 或通过代入对称轴 x = -b/(2a) 求出。

六、二次函数的图像与坐标轴的交点

1. 与 y 轴的交点：令 x = 0，得到 y = c，所以交点为 (0, c)。

2. 与 x 轴的交点：解方程 ax² + bx + c = 0，得到的根即为抛物线与 x 轴的交点，也称为函数的零点。

根据判别式 Δ = b² - 4ac：

- 若 Δ > 0，有两个不同的实数根；

- 若 Δ = 0，有一个实数根（重根）；

- 若 Δ < 0，无实数根。

七、二次函数的增减性

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置，可以判断函数的增减趋势：

- 在对称轴左侧（x < -b/(2a)），若 a > 0，则函数随 x 增大而减小；

- 在对称轴右侧（x > -b/(2a)），若 a > 0，则函数随 x 增大而增大；

- 反之，若 a < 0，则函数在对称轴左侧递增，右侧递减。

八、实际应用举例

二次函数在现实生活中有很多应用，例如：

- 投掷物体的运动轨迹（如篮球、足球等）；

- 经济中的成本与利润关系；

- 工程设计中的曲线结构分析等。

通过建立适当的二次函数模型，可以帮助我们预测变化趋势、寻找最优解等。

总结

二次函数作为初中数学的重要内容，其图像与性质不仅是考试的重点，更是后续学习函数、导数等内容的基础。掌握好二次函数的定义、图像特征、顶点、对称轴、最值、与坐标轴的交点以及实际应用，有助于提升数学思维能力和解决问题的能力。

建议同学们多做练习题，结合图像加深理解，灵活运用所学知识。