【arcsinx求导公式推论过程】在微积分中，反三角函数的导数是重要的知识点之一。其中，$ \arcsin x $ 的导数是一个常见的问题。本文将通过数学推导的方式，逐步展示 $ \arcsin x $ 的导数公式的推导过程，并以加表格的形式进行呈现，帮助读者更好地理解和记忆。
一、推导过程总结
1. 设变量关系：令 $ y = \arcsin x $，即 $ \sin y = x $。
2. 对两边求导：对等式 $ \sin y = x $ 两边关于 $ x $ 求导，使用链式法则。
3. 利用导数公式：已知 $ \frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} $。
4. 代入并整理：得到 $ \cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 $，从而解出 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} $。
5. 用 $ x $ 表示 $ \cos y $：由于 $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $，可得 $ \cos y = \sqrt{1 - x^2} $（注意定义域）。
6. 最终结果：得出 $ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $。
二、推导步骤表格
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设 $ y = \arcsin x $ | 定义反函数 |
| 2 | 则 $ \sin y = x $ | 反函数的定义 |
| 3 | 对两边关于 $ x $ 求导 | 使用链式法则 |
| 4 | $ \cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 $ | 导数计算 |
| 5 | 解得 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} $ | 整理表达式 |
| 6 | 由 $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $ 得 $ \cos y = \sqrt{1 - x^2} $ | 利用三角恒等式 |
| 7 | 最终导数为 $ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | 结果表达 |
三、注意事项
- $ \arcsin x $ 的定义域为 $ [-1, 1] $，因此 $ \sqrt{1 - x^2} $ 必须为实数。
- 在推导过程中，需注意 $ \cos y $ 的正负号问题，但由于 $ y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $，所以 $ \cos y $ 始终为正，因此可以直接取正值。
- 推导过程体现了反函数求导的基本思想，即通过原函数的导数来间接求得反函数的导数。
通过上述推导过程和表格总结，可以清晰地理解 $ \arcsin x $ 的导数是如何得出的。掌握这一过程有助于更深入地理解反函数的导数规则，并为后续学习其他反三角函数的导数打下基础。
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