【多项式乘以多项式】在代数学习中，多项式乘以多项式是一个重要的知识点。它不仅涉及到基本的乘法运算，还涉及分配律、合并同类项等关键概念。掌握这一内容有助于提升对代数表达式的理解能力，并为后续学习因式分解、方程求解等内容打下基础。
一、基本概念
- 多项式：由多个单项式通过加减号连接而成的代数式，如 $3x^2 + 2x - 5$。
- 乘法法则：将一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘，再将所有结果相加。
二、运算步骤
1. 分配律应用：使用乘法分配律，即 $a(b + c) = ab + ac$。
2. 逐项相乘：将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘。
3. 合并同类项：将乘积中的同类项进行合并，简化最终结果。
三、示例解析
例题：计算 $(2x + 3)(x - 4)$
步骤如下：
1. $2x \cdot x = 2x^2$
2. $2x \cdot (-4) = -8x$
3. $3 \cdot x = 3x$
4. $3 \cdot (-4) = -12$
将上述结果相加：
$$
2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12
$$
四、总结表格
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 2x × x | $2x^2$ |
| 2 | 2x × (-4) | $-8x$ |
| 3 | 3 × x | $3x$ |
| 4 | 3 × (-4) | $-12$ |
| 合并同类项 | -8x + 3x | $-5x$ |
| 最终结果 | 2x² - 5x - 12 | $2x^2 - 5x - 12$ |
五、注意事项
- 在进行多项式乘法时，注意符号的变化，尤其是负号的处理。
- 确保每项都与另一多项式的每一项相乘，避免遗漏。
- 合并同类项时要仔细识别相同次数的项。
通过以上步骤和示例，我们可以清晰地理解如何进行多项式乘以多项式的运算。熟练掌握这一方法，能够帮助我们在更复杂的代数问题中游刃有余。
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