【数学归纳法典型例题】数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，常用于证明与自然数有关的命题。其基本思想是通过两个步骤来完成：基础步和归纳步。基础步验证命题在最小的自然数（通常是1）时成立；归纳步则假设命题在某个自然数k时成立，并据此证明它在k+1时也成立。

为了帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的应用，下面总结了几道典型的例题，并附上详细的解答过程和答案表格。

一、例题1：等差数列求和公式

命题：对任意正整数n，有

$$

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

$$

证明：

- 基础步：当n=1时，左边为1，右边为$\frac{1(1+1)}{2} = 1$，成立。

- 归纳步：假设当n=k时成立，即

$$

1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}

$$

则当n=k+1时，左边为

$$

1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}

$$

与右边一致，故命题成立。

二、例题2：平方和公式

命题：对任意正整数n，有

$$

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

$$

证明：

- 基础步：n=1时，左边为1，右边为$\frac{1×2×3}{6} = 1$，成立。

- 归纳步：假设n=k时成立，即

$$

1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

$$

当n=k+1时，左边为

$$

\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}

$$

化简得：$\frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$，成立。

三、例题3：不等式证明

命题：对任意正整数n ≥ 2，有

$$

2^n > n^2

$$

证明：

- 基础步：n=2时，左边为4，右边为4，不成立。但n=3时，左边为8，右边为9，也不成立。

但n=4时，左边为16，右边为16，仍不成立。

n=5时，左边为32，右边为25，成立。

所以应从n=5开始验证。

- 归纳步：假设n=k ≥ 5时成立，即$2^k > k^2$。

则当n=k+1时，左边为$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^2$。

要证明$2k^2 > (k+1)^2$，即$2k^2 > k^2 + 2k + 1$，即$k^2 - 2k -1 > 0$，当k≥5时成立。

四、例题4：数列通项公式

命题：设数列$a_n$满足$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + 2n$，证明：

$$

a_n = n^2

$$

证明：

- 基础步：n=1时，a₁=1，右边为1²=1，成立。

- 归纳步：假设n=k时成立，即$a_k = k^2$。

则$a_{k+1} = a_k + 2k = k^2 + 2k = (k+1)^2$，成立。

五、例题5：组合数性质

命题：对任意正整数n，有

$$

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

$$

证明：

- 基础步：n=1时，$\binom{1}{0} + \binom{1}{1} = 1 + 1 = 2 = 2^1$，成立。

- 归纳步：假设n=k时成立，即$\sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} = 2^k$。

则当n=k+1时，利用二项式定理或递推关系可得：

$\sum_{i=0}^{k+1} \binom{k+1}{i} = 2^{k+1}$，成立。

典型例题总结表

通过以上例题可以看出，数学归纳法不仅适用于数列、公式、不等式等常见问题，还可以用于更复杂的组合数、递推关系等问题。掌握这一方法，有助于提高逻辑推理能力和数学思维能力。

以上就是【数学归纳法典型例题】相关内容，希望对您有所帮助。