【圆里的正方形面积怎么求】在几何学中，常常会遇到“圆内的正方形”这类问题。这类问题通常指的是一个正方形内接于一个圆中，即正方形的四个顶点都在圆上。这种情况下，我们可以通过已知的圆的信息来计算正方形的面积。
一、基本概念
当一个正方形内接于一个圆时，这个正方形的对角线等于圆的直径。因此，如果知道圆的半径或直径，就可以推导出正方形的边长和面积。
二、公式推导
设圆的半径为 $ r $，则圆的直径为 $ d = 2r $。
由于正方形的对角线等于圆的直径，根据正方形对角线与边长的关系：
$$
\text{对角线} = a\sqrt{2}
$$
其中 $ a $ 是正方形的边长。将对角线替换为 $ 2r $，得到：
$$
a\sqrt{2} = 2r \Rightarrow a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}
$$
因此，正方形的面积为：
$$
S = a^2 = (r\sqrt{2})^2 = 2r^2
$$
三、总结表格
| 已知条件 | 正方形边长 $ a $ | 正方形面积 $ S $ |
| 圆的半径 $ r $ | $ r\sqrt{2} $ | $ 2r^2 $ |
| 圆的直径 $ d $ | $ \frac{d}{\sqrt{2}} $ | $ \frac{d^2}{2} $ |
四、实际应用举例
假设一个圆的半径是 5 cm，那么：
- 正方形的边长为：$ 5\sqrt{2} \approx 7.07 $ cm
- 正方形的面积为：$ 2 \times 5^2 = 50 $ cm²
五、注意事项
1. 这种方法适用于正方形内接于圆的情况，即四个顶点都在圆上。
2. 如果题目描述的是正方形外切于圆（即圆内切于正方形），则计算方式不同，需另行分析。
通过上述分析，我们可以清晰地了解如何根据圆的尺寸来求解其内接正方形的面积。掌握这一知识点有助于解决更多复杂的几何问题。
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