在数学中，平面解析几何是研究平面上点、线、曲线等几何对象的一种方法，它通过坐标系将几何问题转化为代数问题来解决。这一领域涉及许多重要的公式和定理，以下是其中一些关键的公式：

两点间距离公式

如果平面上有两个点 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)，那么它们之间的距离 \(d\) 可以用以下公式计算：

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

中点公式

若已知两点 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)，则这两点连线的中点 \(M\) 的坐标为：

\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

斜率公式

对于直线上任意两点 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\)，直线的斜率 \(m\) 可表示为：

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

注意，当 \(x_1 = x_2\) 时，直线垂直于 x 轴，此时斜率不存在。

直线方程的标准形式

一条直线可以通过其斜率 \(m\) 和截距 \(b\) 表示为：

\[ y = mx + b \]

另一种常见的形式是点斜式，即给定一点 \((x_0, y_0)\) 和斜率 \(m\) 时：

\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]

圆的标准方程

圆心位于 \((h, k)\)，半径为 \(r\) 的圆的标准方程为：

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

椭圆的标准方程

中心位于原点的椭圆的标准方程有两种情况：

- 水平长轴：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) （\(a > b\)）

- 垂直长轴：\(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\) （\(a > b\)）

抛物线的标准方程

抛物线有四种标准形式，取决于焦点的位置和开口方向：

- 开口向右：\(y^2 = 4px\)

- 开口向左：\(y^2 = -4px\)

- 开口向上：\(x^2 = 4py\)

- 开口向下：\(x^2 = -4py\)

双曲线的标准方程

双曲线也有两种标准形式：

- 水平方向：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)

- 垂直方向：\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\)

以上只是平面解析几何中的一部分基本公式，深入学习还需要掌握更多复杂的概念与技巧。熟练运用这些公式可以帮助我们更好地理解和解决问题。