【北京数学高考一轮复习精品资料（函数凸凹性）】在高中数学的复习过程中，函数的性质是重点内容之一。其中，函数的“凸凹性”是一个常被忽视但又极具应用价值的概念。尤其是在高考中，理解并掌握函数的凸凹性，有助于在导数、极值、图像分析等题型中取得更高的准确率和解题效率。

一、什么是函数的凸凹性？

函数的凸凹性是描述函数图像弯曲方向的一种数学特性。一般来说，如果一个函数在其定义域内的某一段上，其图像始终位于任意两点连线的上方，则称该函数在该区间上为凸函数（也称为下凸）；反之，若图像始终位于任意两点连线的下方，则称为凹函数（也称为上凸）。

从几何上看：

- 凸函数：图像像一个“碗”的形状，即“向上弯”；

- 凹函数：图像像一个“倒碗”的形状，即“向下弯”。

二、如何判断函数的凸凹性？

判断函数的凸凹性，通常需要借助二阶导数。具体来说：

1. 求出函数的一阶导数 $ f'(x) $；

2. 再求出二阶导数 $ f''(x) $；

3. 分析二阶导数的符号：

- 若 $ f''(x) > 0 $，则函数在该区间上为凸函数；

- 若 $ f''(x) < 0 $，则函数在该区间上为凹函数；

- 若 $ f''(x) = 0 $，则可能是拐点，需进一步分析。

三、凸凹性的实际应用

在高考数学中，函数的凸凹性不仅用于判断图像的形状，还常常与以下知识点结合使用：

1. 极值点的判断

通过分析二阶导数的正负，可以辅助判断某个临界点是否为极大值或极小值点。例如：

- 若 $ f'(x_0) = 0 $ 且 $ f''(x_0) > 0 $，则 $ x_0 $ 是极小值点；

- 若 $ f'(x_0) = 0 $ 且 $ f''(x_0) < 0 $，则 $ x_0 $ 是极大值点。

2. 不等式证明

某些不等式问题可以通过利用函数的凸凹性进行构造和证明。例如，Jensen 不等式就是基于凸函数的性质得出的重要结论。

3. 图像分析与选择题

在一些选择题中，题目可能给出函数的导数信息或图像特征，要求考生判断其凸凹性，从而推断函数的单调性、极值点等。

四、典型例题解析

例题1：

已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，试判断其在区间 $ (-\infty, +\infty) $ 上的凸凹性。

解析：

- 一阶导数：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $

- 二阶导数：$ f''(x) = 6x $

分析二阶导数的符号：

- 当 $ x > 0 $ 时，$ f''(x) > 0 $，函数为凸函数；

- 当 $ x < 0 $ 时，$ f''(x) < 0 $，函数为凹函数；

- 当 $ x = 0 $ 时，$ f''(x) = 0 $，此处为拐点。

结论：函数在 $ (0, +\infty) $ 上为凸函数，在 $ (-\infty, 0) $ 上为凹函数。

五、学习建议

1. 理解基本概念：掌握“凸”与“凹”的定义及其几何意义；

2. 熟练计算二阶导数：这是判断凸凹性的关键工具；

3. 多做综合题：结合单调性、极值、图像等知识进行练习；

4. 注意易错点：如拐点的判定、符号变化的分析等。

六、结语

函数的凸凹性虽然看似抽象，但在高考数学中具有重要的地位。它不仅是导数应用的重要组成部分，更是解决复杂问题的有效工具。希望同学们在一轮复习中重视这一部分，打好基础，提升解题能力。

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