【高等数学公式大全】在学习和研究高等数学的过程中，掌握各种重要的数学公式是必不可少的。无论是微积分、线性代数、微分方程还是概率统计，这些公式都是解决复杂问题的基础工具。本文将系统地整理一些常见的高等数学公式，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、微积分相关公式
1. 导数基本公式
- $ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} $
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} e^x = e^x $
- $ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} $
2. 积分基本公式
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
3. 微分中值定理
- 罗尔定理：若函数 $ f(x) $ 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 $ f(a) = f(b) $，则至少存在一点 $ c \in (a, b) $，使得 $ f'(c) = 0 $。
- 拉格朗日中值定理：若函数 $ f(x) $ 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，则存在 $ c \in (a, b) $，使得 $ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $。
二、线性代数相关公式
1. 矩阵运算
- 矩阵加法：$ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] $
- 矩阵乘法：$ AB = [c_{ij}] $，其中 $ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} $
- 矩阵转置：$ (A^T)_{ij} = A_{ji} $
2. 行列式
对于二阶矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $，行列式为：
$$
|A| = ad - bc
$$
对于三阶矩阵 $ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $，行列式为：
$$
|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
$$
3. 特征值与特征向量
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 矩阵，若存在非零向量 $ \mathbf{v} $ 和标量 $ \lambda $，使得：
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
则称 $ \lambda $ 为矩阵 $ A $ 的特征值，$ \mathbf{v} $ 为对应的特征向量。
三、微分方程基础公式
1. 一阶线性微分方程
形式为：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
其通解为：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)
$$
其中 $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $ 为积分因子。
2. 二阶常系数齐次微分方程
形式为：
$$
ay'' + by' + cy = 0
$$
特征方程为：
$$
ar^2 + br + c = 0
$$
根据判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 的不同情况，解的形式如下：
- 若 $ D > 0 $：两个实根，通解为 $ y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $
- 若 $ D = 0 $：重根 $ r $，通解为 $ y = (C_1 + C_2 x)e^{rx} $
- 若 $ D < 0 $：共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $，通解为 $ y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) $
四、概率与统计常用公式
1. 概率基本公式
- 加法公式：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $
- 乘法公式：$ P(A \cap B) = P(A)P(B|A) $
- 全概率公式：$ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i) $
- 贝叶斯公式：$ P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B|A_j)} $
2. 数学期望与方差
- 数学期望：$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $（离散型）或 $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $（连续型）
- 方差：$ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
五、其他重要公式
1. 泰勒展开
函数 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处的泰勒展开为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n
$$
常见展开式：
- $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $
- $ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $
- $ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $
2. 傅里叶级数
周期为 $ 2L $ 的函数 $ f(x) $ 可以表示为：
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right)
$$
其中，
$$
a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} dx,\quad b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx
$$
结语
高等数学作为现代科学的重要基础，其公式不仅具有理论价值，更在工程、物理、经济等多个领域中广泛应用。掌握这些公式并灵活运用，有助于提升分析问题和解决问题的能力。希望本文能为您的学习和研究提供参考与帮助。
