【向量平行公式和垂直公式】在向量运算中，判断两个向量是否平行或垂直是常见的问题。掌握相关的公式不仅有助于理解向量之间的关系，还能在几何、物理以及工程计算中发挥重要作用。以下是对向量平行与垂直的公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、向量平行的判定
当两个向量方向相同或相反时，它们被称为平行向量。数学上，若两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足某种比例关系，则它们平行。
判定条件：
1. 数量积为零：不适用于平行，而是垂直的条件。
2. 向量共线：即存在实数 $k$，使得 $\vec{a} = k\vec{b}$（前提是 $\vec{b} \neq 0$）。
3. 坐标比例相等：设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则当 $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$（且 $x_2, y_2 \neq 0$）时，两向量平行。
二、向量垂直的判定
当两个向量夹角为 $90^\circ$ 时，称为垂直向量。其判定方法主要依赖于向量的数量积（点积）。
判定条件：
- 若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直。
其中，点积公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2
$$
三、总结对比表
| 项目 | 平行向量 | 垂直向量 |
| 定义 | 方向相同或相反 | 夹角为 $90^\circ$ |
| 判定方式 | 存在实数 $k$，使得 $\vec{a} = k\vec{b}$ | 数量积为零：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
| 坐标关系 | $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$（若非零） | $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ |
| 注意事项 | 避免分母为零 | 向量不能为零向量 |
四、应用示例
- 平行示例：$\vec{a} = (2, 4)$，$\vec{b} = (1, 2)$，因为 $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$，所以 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行。
- 垂直示例：$\vec{a} = (3, -1)$，$\vec{b} = (1, 3)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 1 + (-1) \times 3 = 0$，故两向量垂直。
通过以上内容，我们可以更清晰地理解向量之间平行与垂直的关系及其判定方法。这些知识在解析几何、力学分析及计算机图形学等领域都有广泛的应用。
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