【uv的定积分公式】在微积分中，定积分是计算函数在某一区间上的累积值的重要工具。而“uv的定积分公式”通常指的是在使用分部积分法时所涉及的公式。分部积分法是求解不定积分和定积分的一种常用方法，尤其适用于两个函数相乘的情况。
一、分部积分法的基本公式
分部积分法的核心公式如下：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可微函数；
- $ dv $ 是另一个函数的微分；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的原函数。
这个公式可以用于求解不定积分，也可以扩展到定积分形式。
二、定积分形式的分部积分公式
对于定积分来说，分部积分法的公式为：
$$
\int_a^b u(x) \, dv(x) = \left[ u(x)v(x) \right]_a^b - \int_a^b v(x) \, du(x)
$$
即：
$$
\int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du
$$
三、使用说明与适用场景
| 项目 | 内容 |
| 适用情况 | 当被积函数是两个函数的乘积时，且其中一个函数容易积分，另一个容易求导。 |
| 典型应用 | 如：$ \int x e^x dx $、$ \int x \sin x dx $ 等。 |
| 注意事项 | 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 非常重要，不当的选择可能导致更复杂的积分。 |
| 常见技巧 | 通常将多项式作为 $ u $，指数或三角函数作为 $ dv $。 |
四、示例解析
例1：
计算 $ \int_0^1 x e^x dx $
设：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = e^x dx $，则 $ v = e^x $
代入公式：
$$
\int_0^1 x e^x dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1
$$
例2：
计算 $ \int_0^{\pi} x \sin x dx $
设：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin x dx $，则 $ v = -\cos x $
代入公式：
$$
\int_0^{\pi} x \sin x dx = \left[ -x \cos x \right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x dx = (-\pi \cdot (-1) + 0) + [\sin x]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi
$$
五、总结
“uv的定积分公式”实际上是分部积分法在定积分中的具体应用，其核心思想是将一个复杂的积分转化为两个更简单的积分之差。掌握这一公式不仅有助于提高积分运算的效率，还能增强对函数乘积结构的理解。
| 公式名称 | 公式表达式 | 应用场景 |
| 分部积分法（不定积分） | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ | 求解不定积分 |
| 定积分形式 | $ \int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du $ | 求解定积分 |
| 适用对象 | 两个函数的乘积 | 多项式 × 指数/三角函数等 |
通过合理选择 $ u $ 和 $ dv $，可以有效地简化积分过程，提升解题效率。
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