【正交矩阵定义和性质】正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。它在几何变换、信号处理、数据压缩等方面有着广泛应用。本文将对正交矩阵的定义及其主要性质进行总结，并通过表格形式直观展示其特点。

一、正交矩阵的定义

设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的实矩阵，若满足以下条件：

$$

A^T A = I

$$

其中，$ A^T $ 表示矩阵 $ A $ 的转置，$ I $ 是单位矩阵，则称矩阵 $ A $ 为正交矩阵。

等价地，若 $ A^{-1} = A^T $，则 $ A $ 也是正交矩阵。

二、正交矩阵的主要性质

1. 行列式值为 ±1

正交矩阵的行列式值为 $ 1 $ 或 $ -1 $。这是因为 $ \det(A^T A) = \det(I) = 1 $，而 $ \det(A^T) = \det(A) $，所以 $ (\det A)^2 = 1 $，即 $ \det A = \pm 1 $。

2. 列向量和行向量都是标准正交向量

正交矩阵的每一列（或每一行）都是单位向量，且任意两列（或两行）之间相互正交。

3. 保持向量长度不变

对于任意向量 $ x $，有 $ \Ax\ = \x\ $。这说明正交矩阵不会改变向量的长度，仅进行旋转或反射操作。

4. 保持向量之间的夹角不变

若两个向量 $ x $ 和 $ y $ 之间的夹角为 $ \theta $，则 $ Ax $ 和 $ Ay $ 之间的夹角仍为 $ \theta $。

5. 可逆性

正交矩阵一定是可逆的，且其逆矩阵为其转置矩阵，即 $ A^{-1} = A^T $。

6. 特征值的模为 1

正交矩阵的所有特征值的模均为 1，即它们位于复平面上的单位圆上。

7. 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵

若 $ A $ 和 $ B $ 均为正交矩阵，则 $ AB $ 也是正交矩阵。

8. 正交矩阵的伴随矩阵也为正交矩阵

即 $ \text{adj}(A) $ 也是正交矩阵。

三、正交矩阵的性质总结表

四、结语

正交矩阵因其良好的几何性质和代数结构，在多个领域中具有重要应用价值。理解其定义和性质有助于深入掌握线性代数的核心思想，并为后续学习提供坚实基础。

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