【等比数列求和公式推导】等比数列是数学中常见的一类数列，其特点是每一项与前一项的比值为常数，称为公比。在实际问题中，我们经常需要求出一个等比数列的前n项和。本文将对等比数列求和公式的推导过程进行总结，并通过表格形式展示关键步骤。
一、等比数列定义
设一个等比数列为：
$$ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $$
其中，
- $ a $ 是首项，
- $ r $ 是公比（$ r \neq 1 $），
- $ n $ 是项数。
二、等比数列前n项和的公式
等比数列前n项和的公式为：
$$ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1) $$
当 $ r = 1 $ 时，数列变为常数列，此时：
$$ S_n = a \cdot n $$
三、推导过程总结
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设等比数列前n项和为 $ S_n $ | 即 $ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} $ |
| 2 | 将 $ S_n $ 乘以公比 $ r $ | 得到 $ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n $ |
| 3 | 用原式减去新式 | 即 $ S_n - rS_n = a - ar^n $ |
| 4 | 提取公因式 | $ S_n(1 - r) = a(1 - r^n) $ |
| 5 | 解方程得 $ S_n $ | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ |
四、特殊情况处理
| 情况 | 公式 | 说明 |
| $ r \neq 1 $ | $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 通用公式 |
| $ r = 1 $ | $ S_n = a \cdot n $ | 所有项均为a，和为a乘以项数 |
五、示例验证
例如，求等比数列 $ 2, 6, 18, 54 $ 的前4项和：
- 首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，项数 $ n = 4 $
- 代入公式：
$$
S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 2 \cdot 40 = 80
$$
手动计算：
$ 2 + 6 + 18 + 54 = 80 $，结果一致。
六、总结
等比数列求和公式是通过构造等式并利用代数运算得出的，核心思想是通过“错位相减”法来简化求和过程。掌握该公式的推导有助于理解数列的性质，并在实际应用中灵活使用。
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