在大学阶段，微积分作为数学学习的重要组成部分，不仅是理工科学生的必修课程，也是许多专业进一步深造的基础。掌握微积分中的核心公式与定理，对于理解数学本质、解决实际问题具有重要意义。本文旨在对大学微积分中常见的公式与定理进行系统整理和归纳，帮助学生更好地复习与应用。
一、函数与极限
1. 函数的定义
设 $ A $、$ B $ 是两个非空数集，若存在一个对应法则 $ f $，使得对于每个 $ x \in A $，都有唯一确定的实数 $ y \in B $ 与之对应，则称 $ f $ 是从 $ A $ 到 $ B $ 的函数，记作 $ y = f(x) $。
2. 极限的定义
若当 $ x \to x_0 $ 时，函数 $ f(x) $ 趋近于某个确定的常数 $ L $，则称 $ L $ 为 $ f(x) $ 在 $ x_0 $ 处的极限，记作：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
$$
3. 无穷小量与无穷大量
- 无穷小量：当 $ x \to x_0 $ 时，$ f(x) \to 0 $，称为无穷小。
- 无穷大量：当 $ x \to x_0 $ 时，$ f(x) \to \infty $，称为无穷大。
4. 极限的运算法则
若 $ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $，$ \lim_{x \to x_0} g(x) = B $，则：
- $ \lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B $
- $ \lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B $
- $ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} $（$ B \neq 0 $）
二、导数与微分
1. 导数的定义
函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处的导数定义为：
$$
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
$$
2. 基本求导公式
- $ (C)' = 0 $
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (e^x)' = e^x $
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
3. 导数的四则运算法则
- $ (u \pm v)' = u' \pm v' $
- $ (uv)' = u'v + uv' $
- $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
4. 高阶导数
二阶导数为一阶导数的导数，记作 $ f''(x) $，依此类推。
5. 微分的定义
若 $ y = f(x) $，则其微分为 $ dy = f'(x)dx $。
三、中值定理与泰勒展开
1. 罗尔定理
若函数 $ f(x) $ 满足：
- 在区间 $[a, b]$ 上连续；
- 在 $ (a, b) $ 内可导；
- $ f(a) = f(b) $，
则至少存在一点 $ \xi \in (a, b) $，使得 $ f'(\xi) = 0 $。
2. 拉格朗日中值定理
若函数 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，则存在 $ \xi \in (a, b) $，使得：
$$
f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
$$
3. 柯西中值定理
若函数 $ f(x) $、$ g(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ g'(x) \neq 0 $，则存在 $ \xi \in (a, b) $，使得：
$$
\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}
$$
4. 泰勒公式
若函数 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处有 $ n $ 阶导数，则可以展开为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $ R_n(x) $ 为余项。
四、不定积分与定积分
1. 不定积分的定义
若 $ F'(x) = f(x) $，则称 $ F(x) $ 为 $ f(x) $ 的一个原函数，记作：
$$
\int f(x) dx = F(x) + C
$$
2. 基本积分公式
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
3. 定积分的定义
若函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则其定积分为：
$$
\int_a^b f(x) dx
$$
4. 牛顿-莱布尼兹公式
若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
五、多元函数微积分
1. 偏导数
对于函数 $ f(x, y) $，其对 $ x $ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}
$$
2. 全微分
若 $ z = f(x, y) $，则其全微分为：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
3. 多元函数的极值
若函数 $ f(x, y) $ 在某点取得极值，且在该点可导，则其梯度为零向量，即：
$$
\nabla f(x, y) = (f_x, f_y) = (0, 0)
$$
六、积分的应用
1. 面积计算
曲线 $ y = f(x) $ 与 $ x = a $、$ x = b $ 所围成的面积为：
$$
S = \int_a^b |f(x)| dx
$$
2. 体积计算
由曲线 $ y = f(x) $ 绕 $ x $ 轴旋转一周所形成的体积为：
$$
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx
$$
3. 弧长计算
曲线 $ y = f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的弧长为：
$$
L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx
$$
结语
微积分是现代科学与工程技术的重要工具，其理论体系庞大而严谨。通过对上述公式与定理的系统梳理，不仅有助于加深对微积分的理解，也为后续的学习与研究打下坚实基础。希望本文能为广大学生提供有价值的参考与帮助。
